Tạp âm nhiệt AWGN (additive white Gaussian noise) ~ Blog tổng quan về viễn thông

Tạp âm Gaussian mà bạn nói đến là tạp âm nhiệt (thermal noise), là dòng điện không mong muốn gây ra trong mạch điện dưới tác động của chuyển động nhiệt của các hạt mang điện trong mạch điện (các điện tử).

Chuyển động nhiệt ở đây là chuyển động Brown (chuyển động Bờ-rao-nơ như trong vật lý THCS các bạn được học ngay đầu môn vật lý - phần nhiệt học), chuyển động này là ngẫu nhiên, cân bằng về mọi phía, là hệ quả trực tiếp của việc các điện tử nhận nhiệt năng từ môi trường và chuyển thành động năng.

Bây giờ xét một mạch điện gồm một nguồn tín hiệu (nguồn một chiều như pin chẳng hạn) có sức điện động là E, có điện trở nguồn bằng 0, mạch ngoài gồm một điện trở tải R, bỏ qua điện trở dây dẫn. Theo định luật Ohm, dòng điện một chiều qua điện trở tải R là Io = E/R. Tuy nhiên, khi đo thực tế, dòng điện qua mạch là I(t) khác Io. Dòng I(t) quan trắc được nhấp nhô ngẫu nhiên quanh giá trị dòng 1 chiều Io. Do đó, ta có thể phân tích I(t) = Io + một dòng (khá nhỏ) nhấp nhô quanh giá trị 0. Dòng nhấp nhô khá nhỏ ấy ký hiệu là n(t), gọi là tạp âm. Dòng này chính là dòng gây bởi chuyển động nhiệt của các điện tử trong mạch. Điều này có thể thấy được như sau. Giá trị dòng điện tức thời trong mạch I = q/T trong đó T là khoảng thời gian quan trắc nào đó, q là điện lượng chuyển qua thiết diện của dây dẫn. Mọi điện tử trong mạch điện đồng thời chịu 2 lực tác động: Lực điện trường do nguồn E và lực do chuyển động nhiệt gây nên. Nếu lực chuyên động nhiệt cùng hướng với lực điện trường do nguồn E thì điện tử được tăng tốc, do đó trong cùng một T, điện lượng q chuyển qua mạch tăng, dòng I tăng, ngược lại thì dòng I giảm. Do chuyển động nhiệt thì ngẫu nhiên nên sự tăng giảm của dòng điện trong mạch cũng ngẫu nhiên. Tức là n(t) là một quá trình ngẫu nhiên.

Từ phân tích trên có thể thấy dòng tín hiệu do nguồn tín hiệu gây nên là Io, còn tạp âm nhiệt n(t) thì cộng vào với dòng tín hiệu, như vậy, tạp âm nhiệt có tính cộng với tín hiệu - từ đó có cái chữ A, viết tắt của từ ADDITIVE (có tính cộng).

Khi đo mật độ phổ công suất của tạp âm nhiệt N(f), người ta thấy N(f) của tạp âm gần như hằng số trong một dải tần Wn rất rộng, lên tới hàng chục GHz. Độ rộng băng này sở dĩ lớn đến vậy là do có thể xem dòng tạp âm là tổng các xung điện gây ra khi các điện tử chuyển động nhiệt va chạm vào nhau trong mạch - 2 điện tử va vào nhau thì động năng giảm dưới dạng bức xạ ra các xung điện từ n_i (quá trình là: nhiệt năng từ môi trường được điện tử hấp thụ chuyển thành động năng, khi va chạm thì động năng chuyển thành điện năng bức xạ thành các xung điện từ) và dòng tạp âm có thể xem như tổng các xung n_i rất bé này. Trong một giây có đến hàng tỷ, hàng chục tỷ các va chạm như vậy, do vậy tạp âm như tổng một chuỗi xung có tốc độ lên đến hàng chục tỷ xung trong một giây, vì vậy phổ của nó sẽ lên đến cỡ hàng tỷ đến hàng chục tỷ Hertz (hàng GHz đến hàng chục GHz). Do độ dốc của hàm N(f) rất nhỏ, mặt khác bề rộng phổ của tín hiệu trong thực tế lại rất bé, thường chỉ vài chục MHz đến cỡ 100 MHz, nên bên trong băng tín hiệu có thể xem N(f) là hằng số = No.
Ở đây ta cần lưu ý:
a) Với tín hiệu băng gốc, phổ chiếm của tín hiệu W thường rất nhỏ so với Wn (vài chục MHz so với vài - vài chục GHz) nên trong băng tín hiệu N(f) xem như = No = const. Công suất tạp âm lọt vào trong băng tín hiệu sẽ là Pn = No.W.
b) Với tín hiệu thông dải do điều chế, cả tín và tạp đều sẽ cùng điều chế sóng mang nên trên cao tần, phổ tín hiệu sẽ rộng 2W tập trung quanh tần số sóng mang fc, song với biên độ phổ giảm 2 lần (theo định lý điều chế trong biến đổi Fourier), tương tự vậy, hàm mật phổ công suất tạp âm cũng rộng cả về 2 phía của fc và có biên độ phổ là No/2. Điều này cho thấy việc điều chế thực ra như dịch tịnh tiến (tuyến tính) phổ tín hiệu lẫn mật phổ công suất tạp âm No lên tần số fc song biên độ cùng giảm 2 lần, bù lại, bề rộng phổ trên cao tần bây giờ của tín hiệu là 2W (và tạp âm lọt trong băng tín hiệu vẫn là Pn = 2W.No/2 = W.No). Như vậy, có thể xem như mật phổ công suất tạp âm có cả thành phần tần số âm (2 phía) với biên độ No/2 và khi được điều chế chỉ đơn thuần là dịch tịnh tiến lên fc.

Từ a) và b) nảy sinh hai khái niệm: Mật phổ công suất tạp âm một phía (chỉ có phần tần số dương) với biên độ (độ lớn) là No, bề rộng phổ Wn, thường sử dụng để tính SNR với tín hiệu băng gốc hay băng gốc tương đương; và mật phổ công suất tạp âm hai phía (có cả tần số dương lẫn âm - đối xứng quanh tần số 0) với độ lớn No/2, bề rộng phổ từ -Wn đến +Wn, tức là bề rộng phổ 2Wn, thường dùng để xét với tín hiệu thông dải (tín hiệu đã được điều chế).

Trong băng tín hiệu W thì mật phổ công suất tạp âm gần như là hằng số, làm gần đúng là hằng số No hay No/2 tùy trường hợp xét. Điều này gợi ý liên hệ tới phổ ánh sáng trắng (là tổng của mọi sóng điện từ ánh sáng với mọi bước sóng - hay tần số - khác nhau) là hằng số theo trục bước sóng lamda hay trục tần số. Tính chất phổ như vậy gọi là phổ TRẮNG, nên có cái chữ W (WHITE).

Bây giờ xét về mặt biên độ của dòng (hay điện áp rơi trên 1 điện trở nào đó như R của mạch chẳng hạn) tạp âm. Do n(t) là một quá trình ngẫu nhiên nên tại một thời điểm quan trắc to nào đó ta sẽ có một biến ngẫu nhiên là n(to), ký hiệu là n. Như đã nói, n là tổng của một số rất lớn các xung dòng (hay xung điện từ) n_i, từng n_i lại có ảnh hưởng rất yếu tới tổng do từng n_i có giá trị rất yếu. Theo định lý giới hạn trung tâm của Liapunov, n sẽ có hàm mật độ xác suất xấp xỉ được bằng hàm mật độ xác suất chuẩn (Gauss) (phát biểu chính xác của định lý Liapunov ở đây sẽ chỉ tổ làm rối sự theo dõi nên tôi sẽ không nói kỹ). Từ đây có tính chất phân bổ biên độ của tạp âm là phân bố CHUẨN, và do đó có chữ G (GAUSSIAN). Do chuyển động nhiệt là cân bằng về mọi phía nên trung bình của n (là tổng của các xung n_i với giá trị và dấu âm hay dương ngẫu nhiên) sẽ bằng 0. Tức là tạp âm có biên độ phân bố chuẩn, kỳ vọng bằng 0.

Trên đây là các hiểu biết về tạp âm nhiệt có được từ quan trắc và phân tích vật lý. Về mặt toán học áp dụng trong phân tích hệ thống, ta biết rằng máy thu có một mạch lọc để lọc lấy tín hiệu, có độ rộng băng lọc bằng với độ rộng băng W của tín hiệu. Bất luận tần số sóng mang fc là bao nhiêu thì công suất tạp âm tại lối ra Pn (sẽ cho ta tính được tỷ số công suất tín hiệu trên công suất tạp âm SNR = P/Pn, với P là công suất tín hiệu), như trên đã nói, cũng là No.W. Như vậy, để khỏi lệ thuộc vào tần số fc, ta có thể giả định như trong máy thu sẽ hoàn toàn không có tạp âm (khi đó phân tích hệ thống chỉ cần làm với tín hiệu) và tạp âm trong máy thu sẽ được quy ra đầu vào máy thu và cộng với tín hiệu, với tạp âm được mô hình toán học là một nguồn tạp âm có mật phổ công suất tạp âm một hay hai phía rộng vô hạn và có độ lớn là No hay No/2 tùy theo xét mật phổ công suất tạp âm một hay hai phía (khi xét tín hiệu băng gốc hay thông dải) - khi này mô hình tạp âm sẽ thực sự là một tạp âm TRẮNG.

TÓM TẮT:
Như vậy, tạp âm nhiệt có thể quy thành một nguồn tạp âm ở đầu vào máy thu, đã được mô hình hóa là AWGN: CỘNG với tín hiệu tại đầu vào máy thu (A), có mật phổ công suất là hằng số rộng vô hạn (No hay No/2 tùy theo xét ở băng gốc hay cao tần) - tính chất có mật phổ công suất TRẮNG (W), và có biên độ tạp âm là biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố CHUẨN (G), viết tắt là AWG Noise hay AWGN. Tiếng Việt gọi là tạp âm cộng trắng chuẩn hay tạp âm trắng chuẩn cộng tính. Đây chỉ là một mô hình toán học chứ không phải là tạp âm thực sự bởi tạp âm được mô hình hóa như thế sẽ có công suất (là diện tích của dải băng dài vô hạn giới hạn bởi trục tần số và đường N(f) = No, diện tích đó là vô hạn) bằng vô hạn, không thực tế.

Lưu ý:
1. No thể hiện về mặt năng lượng của tạp âm, về mặt thống kê thì tạp âm lại được thể hiện qua phương sai của hàm mật độ xác suất của biên độ tạp âm là zigma^2. Như vậy hai cái này có quan hệ với nhau. Người ta đã chứng minh (khá dễ dàng song công thức lằng nhằng gõ ra đây chỉ gây tẩu hỏa nhập ma thôi) rằng No = 2.zigma^2.
2. Công suất tạp âm thực tế đo được trong băng tín hiệu Pn = 4.k.T.W, song ta lại có Pn = No.W, do vậy No = 4.k.T, với T là nhiệt độ tuyệt đối (tính theo độ Kenvin), còn k là hằng số Boltzman. Nhiệt độ càng cao, No càng lớn và công suất tạp âm càng lớn. Để tạp âm nhỏ, cần làm giảm T, điều này dẫn đến các bộ LNA (Low Noise Amplifier - Khuếch đại tạp âm thấp) thường được thiết kế cho có nhiệt độ môi trường thấp - tỷ như nhúng bộ khuếch đại trong khí Heli lỏng chẳng hạn.

Sửa chữa: Các con số tôi có thể không nhớ chính xác. Theo các tài liệu trên Internet, độ rộng băng của tạp âm nhiệt lên tới 1500 GHz chứ không phải chỉ vài chục GHz như trong bài đã viết.