Thuật toán tìm đường Dijkstra

Đây là một thuật toán liên quan đến lý thuyết đồ thị, bản đồ, và trong viễn thông thì liên quan đến việc tìm đường ngắn nhất trong mạng. Code ví dụ trong cntt thì nhan nhản trên mạng, bạn nào học cntt mà cần thì tự search nhé.
Về cơ bản thì có thể diễn giải thế này :

• Từ nguồn tới chính nó thì có khoảng cách =0
• Từ các nút kề nguồn thì chọn nút có khoảng cách nhỏ nhất cập nhật vào danh sách đã tìm được đường kèm khoảng cách đến nguồn.
• Quét các nút còn lại , các nút này xem kề nút nào, nếu có kề các nút trong tập hợp danh sách đã biết được đường thì tính xem đường về đích là nhiêu, còn nếu không thì coi như bằng vô cùng. Sau đó trong các nút mới tìm được đường thì chọn nút có đường ngắn nhất cho vào danh sách.
• Cứ làm thế đến khi các nút đều vào danh sách đã tìm được đường thì thôi hoặc đến nút cần đến thì thôi

Ví dụ tí cho dễ hiểu, hình này mình chụp từ slide môn mạng viễn thông

• Theo đồ thị trên thì đến 1 có D3 gần nhất, lần quét đầu tiên cho D3 vào danh sách {1} -> {1,3} đó, các nút D5 D6 không liên hệ với tập hợp biết đường (hiện là {1}) nên cho là vô cùng.
• Tiếp với các nút còn lại thấy D2 liên hệ với D1 có khoảng cách là 3 là ngắn nhất, tống vào, danh sách tìm được đường thêm vào thành {1,2,3}.
• Quét tiếp, thấy D6 liên hệ với D3 có khoảng cách 1, D3 liên hệ nguồn có khoảng cách 2 -> D6 tới nguồn có khoảng cách là 3, ngắn nhất trong lần quét này, cập nhật tiếp. D6 chỉ cần lưu quãng đường và nút sẽ chuyển tiếp D3 thôi, vì khi đến D3, D3 sẽ có dữ liệu để đến đích rồi.
• Cứ thế đến hết.

Theo wiki :

Thuật toán Dijkstra, mang tên của nhà khoa học máy tính người Hà Lan Edsger Dijkstra, là một thuật toán giải quyết bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn trong một đồ thị có hướng không có cạnh mang trọng số âm.

Bài toán
Cho một đồ thị có hướng G=(V,E), một hàm trọng số w: E → [0, ∞) và một đỉnh nguồn s. Cần tính toán được đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn s đến mỗi đỉnh của đồ thị.
Ví dụ: Chúng ta dùng các đỉnh của đồ thị để mô hình các thành phố và các cạnh để mô hình các đường nối giữa chúng. Khi đó trọng số các cạnh có thể xem như độ dài của các con đường (và do đó là không âm). Chúng ta cần vận chuyển từ thành phố s đến thành phố t. Thuật toán Dijkstra sẽ giúp chỉ ra đường đi ngắn nhất chúng ta có thể đi.
Trọng số không âm của các cạnh của đồ thị mang tính tổng quát hơn khoảng cách hình học giữa hai đỉnh đầu mút của chúng. Ví dụ, với 3 đỉnh A, B, C đường đi A-B-C có thể ngắn hơn so với đường đi trực tiếp A-C.

Thuật toán
Thuật toán Dijkstra có thể mô tả như sau:
Ta quản lý một tập hợp động S. Ban đầu S={s}.
Với mỗi đỉnh v, chúng ta quản lý một nhãn d[v] là độ dài bé nhất trong các đường đi từ nguồn s đến một đỉnh u nào đó thuộc S, rồi đi theo cạnh nối u-v.
Trong các đỉnh ngoài S, chúng ta chọn đỉnh u có nhãn d[u] bé nhất, bổ sung vào tập S. Tập S được mở rộng thêm một đỉnh, khi đó chúng ta cần cập nhật lại các nhãn d cho phù hợp với định nghĩa.
Thuật toán kết thúc khi toàn bộ các đỉnh đã nằm trong tập S, hoặc nếu chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất đến một đỉnh đích t, thì chúng ta dừng lại khi đỉnh t được bổ sung vào tập S.
Tính chất không âm của trọng số các cạnh liên quan chặt chẽ đến tính đúng đắn của thuật toán. Khi chứng minh tính đúng đắn của thuật toán, chúng ta phải dùng đến tính chất này.

Chứng minh
Ý tưởng của chứng minh như sau.
Chúng ta sẽ chỉ ra, khi một đỉnh v được bổ sung vào tập S, thì d[v] là giá trị của đường đi ngắn nhất từ nguồn s đến v.
Theo định nghĩa nhãn d, d[v] là giá trị của đường đi ngắn nhất trong các đường đi từ nguồn s, qua các đỉnh trong S, rồi theo một cạnh nối trực tiếp u-v đến v.
Giả sử tồn tại một đường đi từ s đến v có giá trị bé hơn d[v]. Như vậy trong đường đi, tồn tại đỉnh giữa s và v không thuộc S. Chọn w là đỉnh đầu tiên như vậy.
Đường đi của ta có dạng s - ... - w - ... - v. Nhưng do trọng số các cạnh không âm nên đoạn s - ... - w có độ dài không lớn hơn hơn toàn bộ đường đi, và do đó có giá trị bé hơn d[v]. Mặt khác, do cách chọn w của ta, nên độ dài của đoạn s - ... - w chính là d[w]. Như vậy d[w] < d[v], trái với cách chọn đỉnh v. Đây là điều mâu thuẫn. Vậy điều giả sử của ta là sai. Ta có điều phải chứng minh.

Posted in: Mạng viễn thông